Родился в Еватории. Выступал за команды: "Таврия" (Симферополь) – 1 (1), "Химик" (Красноперекопск), "Днепр" (Черкассы), "Нефтяник" (Ахтырка), "Сталь" (Алчевск), ФК "Полтава", "Олимпик" (Донецк). Победитель первенства Украины -2013/14 (первая лига).

В сотаве "Таврии" играет в Премьер-лиге КФС с сезона 2015/16.

За время, проведенное в команде, Евгений сыграл 215 матчей в Чемпионате Премьер-лиги КФС (160 в стартовом составе), 27 матчей в Кубке КФС и 4 матча в Суперкубке КФС, забив в общей сложности 49 голов. 

Евгений вместе с "Таврией" четырежды становился Чемпионом Премьер-лиги КФС в сезонах 2015/16, 2021/2022, 2023 и 2024, четыре раза подряд становился обладателем Кубка КФС - в 2022, в 2023, в 2024 и в 2025 году, а также пять раз обладателем Суперкубка 2016, 2019, 2022, 2024, 2025. 

11 августа 2024, перед началом матча 1/4 финала Кубка Крымского футбольного союза, директор симферопольской "Таврии" Александр Гайдаш поздравил полузащитника Евгения Одинцова, который провел во 2 круге X юбилейного чемпионата Премьер-лиги КФС 200-ый матч в составе ФК "Таврия", вручив ему именную футболку и награду-планкетку.